Question

4．如图，BC是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接AB交⊙O于点D，连接OD，已知AD=2，∠A=2∠B，则扇形BOD的面积是（　　）

• A． 2π
• B． 4π
• C． $\sqrt{3}$π
• D． 2$\sqrt{3}$π

Answer 1

分析 连结CD，如图，先利用圆周角定理和切线的性质得到∠BDC=90°，BC⊥AC，则利用∠A=2∠B可计算出∠B=30°，再判断△ODC为等边三角形得到OD=CD，∠OCD=60°，接着在Rt△ADC中利用含30度的直角三角形三边的关系求出CD=$\sqrt{3}$AD=2$\sqrt{3}$，则OD=2$\sqrt{3}$，然后根据扇形面积公式计算扇形BOD的面积．

解答 解：连结CD，如图，
∵BC是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，
∴∠BDC=90°，BC⊥AC，
∴∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
而∠A=2∠B，
∴2∠B+∠B=90°，即得∠B=30°，
∴∠DOC=2∠B=60°，
∴△ODC为等边三角形，
∴OD=CD，∠OCD=60°，
∴∠ACD=30°，
在Rt△ADC中，CD=$\sqrt{3}$AD=2$\sqrt{3}$，
∴OD=2$\sqrt{3}$
而∠BOD=180°-∠DOC=120°，
∴扇形BOD的面积=$\frac{120•π•（2\sqrt{3}）^{2}}{360}$=4π．
故选B．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和扇形的面积公式．