Question

18．如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+4$\sqrt{2}$与坐标轴分别交于A、B两点，点C在x轴上，且OA=OC，点P从A出发沿射线AC方向运动，速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t（s）．

（1）求点B、C的坐标；
（2）若△OCP的面积为4，求运动时间t的值；
（3）如图2，若∠POQ=90°，且OP=OQ，连接BQ，求运动过程中BQ的最小值．

Answer 1

分析 （1）在y=2x+4$\sqrt{2}$中分别令x=0和y=0，则可求得A、B坐标，结合OA=OC可求得C点坐标；
（2）由条件可求得点O到直线AC的距离，用t可表示出PC的长，则可表示出△OCP的面积，可得到关于t的方程，可求得t的值；
（3）连接AQ，可证明△OQA≌△OPC，则可知∠OAQ=45°，可求得直线AQ的解析式，设直线AQ交x轴于点E，则当BQ⊥AE时，BQ最短，可求得BQ的长．

解答 解：
（1）在y=2x+4$\sqrt{2}$中，令x=0可得y=4$\sqrt{2}$，令y=0可得2x+4$\sqrt{2}$=0，解得x=-2$\sqrt{2}$，
∴A（0，4$\sqrt{2}$），B（$-2\sqrt{2}$，0），
∴OC=OA=4$\sqrt{2}$，
∴C（$4\sqrt{2}$，0）；
（2）∵OA=OC=4$\sqrt{2}$，
∴AC=8，
∴点O到直线AC的距离为4，
当运动t秒时，则AP=t，则CP=|AP-AC|=|t-8|，
∴S_△OCP=$\frac{1}{2}$×4|t-8|=2|t-8|，
∵△OCP的面积为4，
∴2|t-8|=4，解得t=6或t=10，
即当t为6秒或10秒时，△OCP的面积为4；
（3）如图，连接AQ，

∵∠POQ=90°，∠AOC=90°，
∴∠QOA+∠AOP=∠AOP+∠POC，
∴∠AOQ=∠COP，
在△OQA和△OPC中
$\left\{\begin{array}{l}{AO=CO}\\{∠AOQ=∠COP}\\{OQ=OP}\end{array}\right.$
∴△OQA≌△OPC（SAS），
∴∠OCP=∠OAQ=45°，
设直线AQ交y轴于点E，则E（-4$\sqrt{2}$，0），
∴BE=2$\sqrt{2}$，
设直线AQ解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-4\sqrt{2}k+b=0}\\{b=4\sqrt{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=4\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
∴直线AQ解析式为y=x+4$\sqrt{2}$，
∴点Q始终在直线$y=x+4\sqrt{2}$上，
∴BQ⊥AE时，BQ最短，
此时BQ=2，即BQ的最小值为2．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及函数与坐标轴的交点、三角形的面积、全等三角形的判定和性质、待定系数法、最短距离及方程思想等知识．在（2）中用t表示出△OCP的面积是解题的关键，在（3）中确定出点Q的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．