Question

8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF=∠CBG．
（1）求证：AD∥CG；
（2）求证：△ACF≌△CBG；
（3）若CF=12，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）证明∠DAC=∠GCA=45°，即可得出AD∥CG；
（2）证明∠ACF=∠CBG．AC=BC，∠CAF=∠BCG=45°，即可得出△ACF≌△CBG；
（3）延长CG交AB于点H，则GH是△ABD的中位线，BG=DG；由（1）知AD∥CG，E是AC中点，得DE=GE；由（2）得BG=CF=12；故DE=$\frac{1}{2}$CF=6

解答 （1）证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，CG平分∠ACB，
∴∠CAB=45°，∠ACG=45°，
∵AD⊥AB，
∴∠DAC=90°-45°=45°=∠ACG，
∴AD∥CG；
（2）证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，CG平分∠ACB，
∴∠CAF=∠CBA=45°，∠BCG=∠ACG=45°，
∴∠BCG=∠CAF=45°，
∵∠CBG=∠ACF，AC=BC，
在△ACF和△CBG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ACF=∠CBG}&{\;}\\{AC=BC}&{\;}\\{∠CAF=∠BCG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△CBG（ASA），
∴AF=CG；
（3）解：延长CG交AB于点H，如图所示：
则GH是△ABD的中位线，BG=DG；
由（1）知AD∥CG，E是AC中点，
∴DE=GE；
由（2）得BG=CF=12；
∴DE=$\frac{1}{2}$CF=6．

点评 本题考查了三角形全等的判定和性质、等腰三角形的性质、平行线的判定及性质，三角形全等是解本题的关键．