Question

3．如图，矩形AOBC，A（0，3）、B（6，0），点E在OB上，∠AEO=30°，点P从点Q（-4，0）出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t秒．
（1）求点E的坐标；
（2）当△PAE是等腰三角形时，求t的值；
（3）以点P为圆心，PA为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形AEBC的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．

Answer 1

分析 （1）由A，B的坐标及∠AEO=30°可得OE=3$\sqrt{3}$，即可求出点E的坐标；
（2）分三种情形①当EA=EP时，EP₁=EA=EP₂=6，求出t．②当PA=PE时，设P₃E=P₃E=x，在Rt△AOP₃中，3²+（3$\sqrt{3}$-x）²=x²，x=$2\sqrt{3}$，求出t即可．③当AE=AP时，点P在点Q左边，不符合题意．
（3）本小题分三种情况讨论：①当PA⊥AE时，⊙P与AE相切；②当PA⊥AC时，⊙P与AC相切；③当PB⊥BC时，⊙P与BC相切；分别求出各种情况的t的值．

解答 解：（1）∵A（0，3），B（6，0），
∴OA=3，OB=6，
∵∠AEO=30°，
∴OE=$\sqrt{3}$OA=3$\sqrt{3}$，
∴点E的坐标为（$3\sqrt{3}$，0）．

（2）如图1中，

当EA=EP时，EP₁=EA=EP₂=6，此时t=3$\sqrt{3}$-2或3$\sqrt{3}$+10，
当PA=PE时，设P₃E=P₃E=x，在Rt△AOP₃中，3²+（3$\sqrt{3}$-x）²=x²，
∴x=$2\sqrt{3}$，此时t=4+$\sqrt{3}$
当AE=AP时，点P在点Q左边，不符合题意．
综上所述，当△PAE是等腰三角形时，t的值为（3$\sqrt{3}$-2）s或（3$\sqrt{3}+10$）s或（4+$\sqrt{3}$）s．

（3）由题意知，若⊙P与四边形AEBC的边相切，有以下三种情况：
①如图2中，当PA⊥AE时，⊙P与AE相切，

∵∠AEO=30°，AO=3，
∴∠APO=60°，
∴OP=$\sqrt{3}$，
∴QP=QO-PO=4-$\sqrt{3}$，
∵点P从点Q（-4，0）出发，沿x轴向右以每秒1个单位的速度运动，
∴t=4-$\sqrt{3}$（秒）．
②如图3中，当PA⊥AC时，⊙P与AC相切，

∵QO=4，点P从点Q（-4，0）出发，沿x轴向右以每秒1个单位的速度运动，
∴t=4（秒），
③如图4中，当⊙P与BC相切时，

由题意，PA²=PB²=（10-t）²，PO²=（t-4）²．
于是（10-t）²=（t-4）²+3²．
解得t=$\frac{25}{4}$（秒），
综上所述，当⊙P与四边形AEBC的边（或边所在的直线）相切时，t的值为（4-$\sqrt{3}$）秒或4秒或$\frac{25}{4}$秒．

点评 本题考查了圆的综合，涉及了圆与直线的位置关系、锐角三角函数的定义及外角的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会把问题转化为方程解决，属于中考压轴题．