Question

3．在△ABC中，∠B=45°，点D在边BC上，AD=AC，点E在边AD上，∠BCE=45°，若AB=5$\sqrt{2}$．AE=2DE，则AC=$\sqrt{26}$．

Answer 1

分析 过A作AM⊥BC于M，过作EN∥AB交BC于N，根据相似三角形的性质得到∠ENC=∠B=45°，推出△ABM与△ENC是等腰直角三角形根据勾股定理得到AM=BM=5，设CM=x，则CD=2x，ND=NC-CD=$\frac{10}{3}$-2x，BO=5-x，列方程即刻得到结论．

解答 解：过A作AM⊥BC于M，过作EN∥AB交BC于N，
则△DEN∽△DAB，∴∠ENC=∠B=45°，
∴△ABM与△ENC是等腰直角三角形，
∵AB=5$\sqrt{2}$，
∴AM=BM=5，
∵DE：AE=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{DE}{AD}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{NE}{AB}$=$\frac{1}{3}$，
∴NE=$\frac{5\sqrt{2}}{3}$，
∴NC=$\frac{10}{3}$，
设CM=x，则CD=2x，ND=NC-CD=$\frac{10}{3}$-2x，BO=5-x，
则$\frac{ND}{BD}$=$\frac{1}{3}$，
即$\frac{\frac{10}{3}-2x}{5-x}$=$\frac{1}{3}$，
∴x=1，∴CM=1，
∴AC=$\sqrt{A{M}^{2}+C{M}^{2}}$=$\sqrt{26}$．
故答案为：$\sqrt{26}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．