Question

15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的中线，AE⊥CD于点E，交BC边于点F，若AF=4，AB=8，则线段EF的长为$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 如图，取BF的中点H，连接DH．设EF=x，CE=y．由DH∥EF，得$\frac{EF}{DH}$=$\frac{CE}{CD}$，得$\frac{x}{2}$=$\frac{y}{4}$，推出y=2x，由△ACE∽△CFE，得到$\frac{CE}{EF}$=$\frac{AE}{CE}$，推出y²=x（4-x），解方程组即可．

解答 解：如图，取BF的中点H，连接DH．设EF=x，CE=y．

∵∠ACB=90°，AD=DB，
∴CD=AD=DB=4，
∵AD=DB，FH=HB，
∴DH=$\frac{1}{2}$AF=2，DH∥EF，
∴$\frac{EF}{DH}$=$\frac{CE}{CD}$，
∴$\frac{x}{2}$=$\frac{y}{4}$，
∴y=2x，
∵AF⊥CE，
∴∠CEA=∠CEF=90°，
∵∠ACE+∠CAE=90°，∠ACE+∠ECF=90°，
∴∠ECF=∠CAE，
∴△ACE∽△CFE，
∴$\frac{CE}{EF}$=$\frac{AE}{CE}$，
∴y²=x（4-x），
∴4x²=x（4-x），
∵x≠0，
∴x=$\frac{4}{5}$，
∴EF=$\frac{4}{5}$，
故答案为$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理、二元二次方程组等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会构建方程组解决问题，属于中考常考题型．