Question

13．阅读下列材料：
如图1，在四边形ABCD中，已知∠ACB=∠BAD=105°，∠ABC=∠ADC=45°．求证：CD=AB．
小刚是这样思考的：由已知可得，∠DCA=60°，∠DAC=75°，∠CAB=30°，∠ACB+∠DAC=180°，由求证及特殊角度数可联想到构造特殊三角形．即过点A作AE⊥AB交BC的延长线于点E，则AB=AE，∠E=∠D．
∵在△ADC与△CEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠E}\\{∠DAC=∠ECA=75°}\\{AC=CA}\end{array}\right.$∴△ADC≌△CEA，得CD=AE=AB．
请你参考小刚同学思考问题的方法，解决下面问题：
如图2，在四边形ABCD中，若∠ACB+∠CAD=180°，∠B=∠D，请问：CD与AB是否相等？若相等，请你给出证明；若不相等，请说明理由．

Answer 1

分析 结论：CD=AB．延长BC至E使AE=AB，则∠B=∠E．只要证明△CAD≌△ACE，得CD=AE，由此即可证明．

解答 解：结论：CD=AB．
证明：延长BC至E使AE=AB，则∠B=∠E．

∵∠B=∠D
∴∠D=∠E
∵∠ACB+∠CAD=180°，∠ACB+∠ACE=180°，
∴∠CAD=∠ACE
在△CAD与△ACE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠ACE}\\{AC=CA}\\{∠D=∠E}\end{array}\right.$，
∴△CAD≌△ACE
∴CD=AE，
∵AE=AB，
∴CD=AB．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．