Question

8．如图，AB是半⊙O的直径，点C在半⊙O上，AB=5cm，AC=4cm．D是$\widehat{BC}$上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE．在点D移动的过程中，BE的最小值为$\sqrt{13}$-2．

Answer 1

分析 如图，连接BO′、BC．在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，当O′、E、B共线时，BE的值最小，最小值为O′B-O′E，利用勾股定理求出BO′即可解决问题．

解答 解：如图，连接BO′、BC．

∵CE⊥AD，
∴∠AEC=90°，
∴在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，∵AC=4，AB=5，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
在Rt△BCO′中，BO′=$\sqrt{B{C}^{2}+CO{′}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∵O′E+BE≥O′B，
∴当O′、E、B共线时，BE的值最小，最小值为O′B-O′E=$\sqrt{13}$-2，
故答案为：$\sqrt{13}-2$．

点评 本题考查圆综合题、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是确定等E的运动轨迹是以AC为直径的圆上运动，属于中考填空题中 压轴题．