Question

5． 如图，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交BC于点D．
（1）求∠ADC的度数；
（2）求证：DC=2DB．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形两底角相等求出∠B，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AD=BD，根据等边对等角可得∠BAD=∠B，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解；
（2）根据三角形的内角和得到∠DAC=90°，根据直角三角形的性质得到AD=$\frac{1}{2}$CD，∠BAD=30°，求得∠B=∠BAD，根据等腰三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=$\frac{1}{2}$（180°-∠BAC）=$\frac{1}{2}$（180°-120°）=30°，
∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD，
∴∠BAD=∠B=30°，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=30°+30°=60°；
（2）∵∠ADC=60°，∠C=30°，
∴∠DAC=90°，
∴AD=$\frac{1}{2}$CD，∠BAD=30°，
∴∠B=∠BAD，
∴BD=AD，
∴DC=2DB．

点评 本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等腰三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键．