Question

如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A的坐标为（

3

，1），若将△OAB绕原点逆时针旋转90°后，A点到达A′．
（1）点A的坐标为

 

；
（2）求点A旋转到点A′所经过的路线长（结果保留π）．

Answer 1

考点：坐标与图形变化-旋转,弧长的计算

专题：计算题

分析：（1）由Rt△OAB的顶点A的坐标为（

3

，1）得到OB=

3

，AB=1，根据勾股定理可得OA=2，再根据旋转的性质得∠A′OA=∠B′OB=90°，∠A′B′O=∠ABO=90°，A′B′=AB=1，OB′=OB=

3

，然后根据第二象限点的坐标特征写出点A′的坐标；
（2）直接利用弧长公式计算即可．

解答：解：（1）∵Rt△OAB的顶点A的坐标为（

3

，1），
∴OB=

3

，AB=1，
∴OA=

AB2+OB2

=2，
∵△OAB绕原点逆时针旋转90°得到△OA′B′，如图，
∴∠A′OA=∠B′OB=90°，∠A′B′O=∠ABO=90°，A′B′=AB=1，OB′=OB=

3

，
∴点A′的坐标为（-1，

3

）；
故答案为（-1，

3

）；
（2）∵∠A′OA=∠B′OB=90°，OA=2，
∴点A旋转到点A′所经过的路线长=

90•π•2

180

=π．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了弧长公式．