Question

19．如图，在等腰直角△AB中，∠BAC=90°，AB=AC，M是射线BC上一动点，N在射线AC上（点N，A不重合），满足MA=MN．
（1）如图1，若∠AMN=45°，求证：BM=CN；
（2）当点M在射线BC上运动时，点N随之移动，过N作BC的垂线角射线BC于D．
①如图2，当点N在线段AC上时，试猜想线段MD与BC有何数量关系？写出你的结论并证明
②当点N在AC的延长线上时，①的结论是否仍然成立？请直接写出你的答案（不必证明）．
（3）若BC=8，设BM的长为x，△MNC的面积为y，求y与x之间的关系式．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形的性质得到∠B=∠C=45°，求得∠AMB=∠NMC，推出△ABM≌△CMN，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）①如图2，过A作AE⊥BC于E，根据等腰直角三角形的性质得到AE=$\frac{1}{2}$BC，∠DNC=45°，证得∠AME=∠MND，推出△AME≌△MND，根据全等三角形的性质即可得到结论；②过A作AE⊥BC于E，根据等腰直角三角形的性质得到AE=$\frac{1}{2}$BC，∠DNC=45°，证得∠AME=∠MND，推出△AME≌△MND，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（3）根据三角形的面积公式即可得到结论．

解答 解：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°，
∵∠AMN=45°，
∴∠AMB=180°-45°-∠NMC，
∠CNM=180°-45°-∠NMC，
∴∠AMB=∠NMC，
在△ABM与△CNM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠C}\\{∠AMB=∠CNM}\\{AM=MN}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△CMN，
∴BM=CN；

（2）①：如图2，过A作AE⊥BC于E，
∵AB=AC，AE⊥BC，
∴AE=$\frac{1}{2}$BC，
∵ND⊥BC，
∵∠C=45°，
∴∠DNC=45°，
∴∠MND=180°-∠DNC-∠ANM=135°-∠ANM，
∵∠AMC=∠B+∠BAM=45°+90°-∠MAN=135°-∠MAN，
∵AM=MN，
∴∠MAN=∠ANM，
∴∠AME=∠MND，
在△AME与△MDN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AEM=∠MDN=90°}\\{∠AME=∠MND}\\{AM=MN}\end{array}\right.$，
∴△AME≌△MND，
∴MD=AE=$\frac{1}{2}$BC；
②：①的结论仍然成立；
过A作AE⊥BC于E，
∵AB=AC，AE⊥BC，
∴AE=$\frac{1}{2}$BC，
∵ND⊥BC，
∵∠ACB=45°，
∴∠DNC=45°，
∴∠MND=45°+∠ANM，
∵∠AMC=45°+∠MAN，
∵AM=MN，
∴∠MAN=∠ANM，
∴∠AME=∠MND，
在△AME与△MDN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AEM=∠MDN=90°}\\{∠AME=∠MND}\\{AM=MN}\end{array}\right.$，
∴△AME≌△MND，
∴MD=AE=$\frac{1}{2}$BC；
（3）∵BC=8，BM=x，
∴CM=8-x，或CM=x-8，
∵DN=CD，
∴DN=CM-DM=8-x-4=4-x，
∴y=$\frac{1}{2}$（8-x）（4-x）=-$\frac{1}{2}$x²-6x+16．或y=$\frac{1}{2}$（x-8）（4-x）=$\frac{1}{2}$x²+6x-16．

点评 不要看错了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，求函数的解析式，正确的作出辅助线是解题的关键．