Question

8．如图，四边形ABCD，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD．
（1）求证：AC平分∠BCD．
（2）若BC=10，CD=4，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）过A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，则四边形AECF是矩形，求出∠FAD=∠BAE，根据AAS证△AEB≌△AFD，得出AE=AF，证出四边形AECF是正方形，即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质和正方形的性质得出BE=DF，AE=CE=CF=AF，设BE=DF=x，则AE=AF=CF=CE=10-x，由DF=CF-CD=6-x，得出方程x=6-x，解方程得出BE、AE的长，再由勾股定理求出AB即可．

解答 （1）证明：过A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，如图所示：
则∠AEB=∠AEC=∠AFD=90°，
∵∠BAD=∠BCD=90°，
∴四边形AECF是矩形，
∴∠FAE=90°=∠BAD，
∴∠FAD=∠BAE=90°-∠EAD，
在△AEB和△AFD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠FAD}&{\;}\\{∠AEB=∠F}&{\;}\\{AB=AD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△AFD（AAS），
∴AE=AF，
∴四边形AECF是正方形，
∴∠ACB=∠ACD=45°，
∴AC平分∠BCD；
（2）解：由（1）得：△AEB≌△AFD，四边形AECF是正方形，
∴BE=DF，AE=CE=CF=AF，
设BE=DF=x，则AE=AF=CF=CE=10-x，
∵DF=CF-CD=10-x-4=6-x，
∴x=6-x，
解得：x=3，
∴AE=10-3=7，
∴AB=$\sqrt{B{E}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{7}^{2}}$=$\sqrt{58}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．