Question

4．如图1，点F是线段EC的中点，点B是线段EC上任一点，分别以BE和BC为斜边向EC的同侧做等腰直角三角形BDE和等腰直角三角形BAC，连接AF，DF，AD．
（1）如图1，若EB=3，BC=5，求DF的长；
（2）如图1，求证：△ADF是等腰直角三角形；
（3）如图2，若点F是线段EC的中点，点B是线段EC外一点，分别以BE和BC为斜边仍然向EC的同侧作等腰直角三角形BDE和等腰直角三角形BAC，连接AF，DF，AD．探究：△ADF还是等腰直角三角形吗？若是请证明，若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）作DM⊥EB垂足为M，利用勾股定理即可求出DF．
（2）作AN⊥BC垂足为N，利用SAS可以证明△DMF≌△FNA得DF=AF，再证明∠DFA=90°即可．
（3）作DM⊥EB，AN⊥BC，垂足分别为M、N．连接NF且延长到K，EB、DF交于点O，只要证明△DMF≌△FNA以及∠DFA=90°即可．

解答 （1）解：如图1中，作DM⊥EB，垂足为M．
∵△DEB和△ABC都是等腰直角三角形，∠EDB=∠BAC=90°，
∴DM=EM=MB=$\frac{1}{2}$EB=$\frac{3}{2}$，
∵EC=EB+BC=8，EF=FC，
∴EF=4，BF=EF-EB=1，MF=BM+BF=$\frac{5}{2}$，
 在RT△DMF中，∵DM=$\frac{3}{2}$，MF=$\frac{5}{2}$，
∴DF=$\sqrt{D{M}^{2}+M{F}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+（\frac{5}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{34}}{2}$．
（2）证明：如图1中，AN⊥BC垂足N．
∵AB=AC，BC=5，
∴AN=BN=NC=$\frac{5}{2}$，FN=BN-BF=$\frac{5}{2}$-1=$\frac{3}{2}$，
由（1）可知，DM=FN，MF=AN，
在△DMF和△FNA中，
$\left\{\begin{array}{l}{DM=FN}\\{∠DMF=∠ANF}\\{MF=AN}\end{array}\right.$，
∴△DMF≌△FNA，
∴DF=AF，∠DFM=∠FAN，
∵∠FAN+∠AFN=90°，
∴∠DFM+∠AFN=90°，
∴∠DFA=90°，
∴△DFA是等腰直角三角形．
（3）△ADF是等腰直角三角形，理由如下：
如图2中，作DM⊥EB，AN⊥BC，垂足分别为M、N．连接NF且延长到K，EB、DF交于点O．
∵DE=DB，∠EDB=90°，
∴DM=BM=EM，同理：AN=BN=NC，
∵EF=FC，
∴FM=$\frac{1}{2}$BC=BN=AN，FN=$\frac{1}{2}$EB=BM=DN，
∴四边形MBNF是平行四边形，
∴∠BMF=∠BNF，
∵∠DMB=∠ANB=90°，
∴∠DMF=∠ANF，
在△DMF和△FNA中，
$\left\{\begin{array}{l}{DM=FN}\\{∠DMF=∠ANF}\\{MF=AN}\end{array}\right.$，
∴△DMF≌△FNA，
∴DF=AF，∠MDF=∠AFN，
∵EB∥KN，
∴∠DOM=∠DFK，
∵∠MDF+∠DOM=90°，
∴∠DFK+∠AFN=90°，
∴∠DFA=180°-（∠DFK+∠AFN）=90°，
∴△ADF是等腰直角三角形．

点评 本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．