Question

14．已知，如图，AB=BC，∠ABC=90°，且AE=EF，∠AEF=90°，BE与CF相交于点D，连接AD．
（1）如图①，若∠ABE=∠AEB，AG⊥BD，垂足为G，求证：BG=GE；
（2）在（1）条件下，猜想线段CD，DF的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图②，若∠ABE=α，∠AEB=135°，猜想四边形AEFD的形状，并说明．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形三线合一的性质即可证明．
（2）图①作CM⊥BD，FN⊥BD垂足分别为M、N，只要证明△CBM≌△FEN，△DMC≌△DNF即可．
（3）先证明△ACF∽△ABE得∠ODC=∠OAB=45°，再证明DF=EF=AE=AD即可解决问题．

解答 （1）证明：如图①中，
∵∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∵AG⊥BE，
∴BG=EG．
（2）结论：CD=DF，理由如下：
在图①中，作CM⊥BD，FN⊥BD垂足分别为M、N．
∵∠ABE=∠AEB，
∴EF=AE=AB=AC，
∵∠AEF=90°，
∴∠FEN+∠AEG=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠CBM=90°，
∴∠FEN=∠CBM
在△CBM和△FEN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FEN=∠CBM}\\{EF=BC}\\{∠FNE=∠CMB=90°}\end{array}\right.$，
∴△CBM≌△FEN，
∴MC=FN，
在△DMC和△DNF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MDC=∠FDN}\\{∠DMC=∠FND=90°}\\{CM=FN}\end{array}\right.$，
∴△DMC≌△DNF，
∴CD=DF．
（3）如图②中，结论：四边形AEFD是正方形，理由如下：
∵△ABC和△AEF都是等腰直角三角形，∠ABC=∠AEF=90°，
∴AC=$\sqrt{2}$AB，AF=$\sqrt{2}$AE，∠BAC=∠EAF=45°，
∴∠BAE=∠CAF，$\frac{AC}{AB}=\frac{AF}{AE}=\sqrt{2}$，
∴△ACF∽△ABE，
∴∠ABE=∠ACF，
∵∠AOB=∠DOC，
∴∠ODC=∠OAB=45°
∵∠AEB=135°，
∴∠AED=∠DEF=∠ODF=45°，
∴FE=FD，
∵EA=EF，∠AED=∠FED，
∴ED垂直平分AF，
∴DA=DF=EF=AE，
∴四边形AEFD是菱形，
∵∠AEF=90°，
∴四边形AEFD是正方形．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．