Question

阅读材料1：
对于两个正实数a，b，由于（

a

-

b

）²≥0，所以（

a

）²-2

a

•

b

+（

b

）²≥0，即a-2

ab

+b≥0，所以得到a+b≥2

ab

，并且当a=b时，a+b=2

ab

．
阅读材料2：
若x＞0，则

x2+1

x

=

x2

x

+

1

x

=x+

1

x

，因为x＞0，

1

x

＞0，所以由阅读材料1可得，x+

1

x

≥2

x• 1 x

=2，即

x2+1

x

的最小值是2，只有x=

1

x

时，即x=1时取得最小值．
根据以上阅读材料，请回答以下问题：
（1）比较大小：x²+1

 

2x（其中x≥1）；x+

1

x

 

-2（其中x＜-1）
（2）已知代数式

x2+3x+3

x+1

变形为x+n+

1

x+1

，求常数n的值；
（3）当x=

 

 时，

x+3+3 x

x +1

有最小值，最小值为

 

．（直接写出答案）

Answer 1

考点：分式的混合运算,二次根式的化简求值

专题：阅读型

分析：（1）x²+1-2x=（x-1）²≥0，所以x²+1≥2x；当x＜-1时，由阅读材料1可得，-x-

1

x

＞2

(-x)•(- 1 x )

=2，所以x+

1

x

＜-2；
（2）把代数式

x2+3x+3

x+1

变形为x+2+

1

x+1

，解答即可；
（3）当x=0 时，

x+3+3 x

x +1

有最小值，最小值为3．

解答：解：（1）x²+1-2x=（x-1）²≥0，所以x²+1≥2x；当x＜-1时，由阅读材料1可得，-x-

1

x

＞2

(-x)•(- 1 x )

=2，所以x+

1

x

＜-2；
（2）

x2+3x+3

x+1

=

x2+x+2x+2+1

x+1

=

x2+x

x+1

+

2x+2

x+1

+

1

x+1

=x+2+

1

x+1

=x+n+

1

x+1

，
所以n=2；
（3）当x=0 时，

x+3+3 x

x +1

有最小值，最小值为3．
故答案为：（1）≥＜；（2）n=2；（3）0，3．

点评：本题主要考查了分式的混合运算．读懂材料并加以运用是解题的关键．