数学课上.李老师出示了如框(图2)中的题目．小敏与同桌小聪讨论后.进行了如下解答:(1)特殊情况.探索结论:当点E为AB的中点时.如图1.确定线段AE与DB的大小关系.请你直接写出结论:AE=DB．(2)特例启发.解答题目:解:题目中.AE与DB的大小关系是:AE=DB．理由如下:如图2.过点E作EF∥BC.交AC于点F．(请你接着完成以下解答过程)(3)拓展结论.设计新� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．数学课上，李老师出示了如框（图2）中的题目．
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况，探索结论：当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE=DB（填“＞”，“＜”或“=”）．
（2）特例启发，解答题目：
解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE=DB（填“＞”，“＜”或“=”）．
理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你接着完成以下解答过程）

（3）拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为3，AE=1，则CD的长为2或4（请你直接写出结果）．

分析（1）根据等边三角形的性质，得出AE=BE，根据∠D=∠BED，即可得出BD=BE，进而得出AE=BD；
（2）过点E作EF∥BC，交AC于点F，先得出AE=AF=EF，再判定△DBE≌△EFC（SAS），得出DB=EF，进而得出AE=BD；
（3）根据AE=1，△ABC的边长为3，可知E点可能在线段AB上，也可能在BA的延长线上，因此分两种情况进行讨论：①当点E在AB时，同（2）可知，BD=EF=AE=1，即可得出CD=BC+BD=3+1=4；②当点E在BA的延长线上时，过点E作EF∥BC，交CA的延长线于点F，先判定△BDE≌△FEC（AAS），得出EF=BD，再判定△AEF为等边三角形，进而得出CD=BC-BD=3-1=2．

解答解：（1）∵等边三角形ABC中，E是AB的中点，
∴∠BCE=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°，AE=BE，
又∵EC=ED，
∴∠D=∠BCE=30°，
∵∠ABC=60°，
∴∠BED=60°-∠D=30°，
∴∠D=∠BED，
∴BD=BE，
∴AE=BD，
故答案为：=；

（2）AE与DB的大小关系是：AE=DB．
理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．
在等边△ABC中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=AC，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠AFE=60°=∠BAC，
∴AE=AF=EF，
∴AB-AE=AC-AF，即BE=CF，
∵∠ABC=∠EDB+∠BED=60°，∠ACB=∠ECB+∠FCE=60°，
∵ED=EC，
∴∠EDB=∠ECB，
∴∠BED=∠FCE，
在△DBE和△EFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{ED=EC}\\{∠BED=∠FCE}\\{BE=CF}\end{array}\right.$，
∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴DB=EF，
∴AE=BD，
故答案为：=；

（3）∵AE=1，△ABC的边长为3，
∴E点可能在线段AB上，也可能在BA的延长线上，
①当点E在AB时，同（2）可知，BD=EF=AE=1，
∴CD=BC+BD=3+1=4；
②当点E在BA的延长线上时，如图3，过点E作EF∥BC，交CA的延长线于点F，则
∠F=∠FCB=∠B=60°，∠FEC+∠ECD=∠FEC+∠EDC=180°，
∴∠EDB=∠FEC，
且ED=EC，
在△BDE和△FEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠F}\\{∠BDE=∠FEC}\\{ED=EC}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△FEC（AAS），
∴EF=BD，
又∵∠F=∠FAE=∠AEF=60°，
∴△AEF为等边三角形，
∴BD=EF=AE=1，
∴CD=BC-BD=3-1=2，
故答案为：2或4．