Question

17．在等腰△ABC中，如果过顶角的顶点A的一条直线AD将△ABC分别割成两个等腰三角形，那么∠BAC=90°或108°．

Answer 1

分析 根据题意画出图形，分类讨论，利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质可得结论．

解答 解：①当BD=CD，CD=AD时，如图①所示，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
设∠B=∠C=x，
∵BD=CD，CD=AD，
∴∠BAD=∠B=x，∠CAD=∠C=x，
∴4x=180°，
∴x=45°，
∴∠BAC=2x=45°×2=90°；
②当AD=BD，AC=CD时，如图②所示，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C
设∠B=∠C=x，
∵AD=BD，AC=CD，
∴∠BAD=∠B=x，∠CAD=$\frac{180°-x}{2}$，
∴$\frac{180°-x}{2}+x$=180°-2x，
解得：x=36°，
∴∠BAC=180°-2x=180°-2×36°=108°，
故答案为：90°或108°．

点评 本题主要考查了等腰三角形的性质，根据题意画出图形分类讨论，利用三角形的内角和定理是解答此题的关键．