Question

14．如图，等边△ABC中，AH⊥BC于点H，点D是AB上任意一点，以CD为边作等边△CDE，连结BE．
（1）求证：BE⊥AB；
（2）当点E在AH的延长线上时，试求$\frac{AD}{AH}$的值．

Answer 1

分析 （1）由等边三角形的性质可得出AC=BC、DC=EC，根据角与角之间的关系可得出∠ECB=∠DCA，从而可证出△ACD≌△BCE（SAS），根据全等三角形的性质可得∠EBC=∠DAC，再由AH⊥BC可得出∠DAC=30°，进而即可求出∠EBA=90°，即BE⊥AB；
（2）根据等边三角形的对称轴可得BE=CE，进而可得出∠EBC=∠ECB=∠BCD=∠ACD=30°，即点D是△ABC的内心，也是重心，由此可求出$\frac{AD}{AH}$的值．

解答 （1）证明：∵△DCE与△ABC都是等边三角形，如图1，
∴∠ACD+∠DCB=∠ACB=60°，∠DCB+∠BCE=∠DCE=60°，AC=BC，DC=EC，
∴∠ECB=∠DCA．
在△ACD和△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{DC=EC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠EBC=∠DAC．
又∵AH⊥BC，
∴∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，
∴∠EBA=∠EBC+∠CBA=90°，即BE⊥AB．

（2）解：当点E在AH的延长线上时，如图2所示．
由等边三角形对称性可得：BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB=∠BCD=∠ACD=30°，
∴点D是△ABC的内心，也是重心，
∴$\frac{AD}{AH}$=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及三角形的重心，解题的关键是：（1）求出∠EBA=90°；（2）找出点D为等边三角形的重心．