如图.抛物线y=-x2-2x+3的图象与x轴交A.B两点.与y轴交于点C.点D为抛物线的顶点．(1)求点A.B.C的坐标,(2)点M为线段AB上一点.过M作x轴的垂线.与直线AC交于点E.与抛物线交于点P.过P作PQ∥AB交抛物线于点Q.过Q作QN⊥x轴于N.当矩形PMNQ的周长最大时.求△AEM的面积,的条件下.当矩形PMNQ的周长最大时.连接DQ.过抛物线上一点F作y轴的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．

如图，抛物线y=-x²-2x+3的图象与x轴交A、B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过Q作QN⊥x轴于N，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积；
（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方），若FG=2$\sqrt{2}$DQ，求点F的坐标．

分析（1）解方程-x²-2x+3=0可得A点和B点坐标；计算自变量为0时的函数值可得到C点坐标；
（2）先确定抛物线的对称轴为直线x=-1，设M（x，0），则点P（x，-x²-2x+3），（-3＜x＜-1），利用对称性得到点Q（-2-x，-x²-2x+3），PQ=-2-2x，所以矩形PMNQ的周长=2（-2-2x-x²-2x+3），利用二次函数得到当x=-2时，矩形PMNQ的周长最大，此时M（-2，0），接着利用待定系数法确定直线AC的解析式为y=3x+3，从而得到E（-2，1），然后根据三角形面积公式求解；
（3）当x=-2时得到Q（0，3），再确定D（-1，4），则DQ=$\sqrt{2}$，所以FG=2$\sqrt{2}$DQ=4，设F（t，-t²-2t+3），则G（t，t+3），所以GF=t+3-（-t²-2t+3）=t²+3t，于是得到方程t²+3t=4，然后解方程求出t即可得到F点坐标．

解答解：（1）当y=0时，-x²-2x+3=0，解得x₁=1，x₂=-3，则A（-3，0），B（1，0）；
当x=0时，y=-x²-2x+3=3，则C（0，3）；

（2）抛物线的对称轴为直线x=-1，
设M（x，0），则点P（x，-x²-2x+3），（-3＜x＜-1），
∵点P与点Q关于直线=-1对称，
∴点Q（-2-x，-x²-2x+3），
∴PQ=-2-x-x=-2-2x，
∴矩形PMNQ的周长=2（-2-2x-x²-2x+3）=-2x²-8x+2=-2（x+2）²+10，
当x=-2时，矩形PMNQ的周长最大，此时M（-2，0），
设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A（-3，0），C（0，3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=3x+3，
当x=-2时，y=x+3=1，
∴E（-2，1），
∴△AEM的面积=$\frac{1}{2}$×（-2+3）×1=$\frac{1}{2}$；

（3）当x=-2时，Q（0，3），即点C与点Q重合，
当x=-1时，y=-x²-2x+3=4，则D（-1，4），
∴DQ=$\sqrt{{1}^{2}+（3-4）^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴FG=2$\sqrt{2}$DQ=2$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=4，
设F（t，-t²-2t+3），则G（t，t+3），
∴GF=t+3-（-t²-2t+3）=t²+3t，
∴t²+3t=4，解得t₁=-4，t₂=1，
∴F点坐标为（-4，-5）或（1，0）．