Question

4．如图，以?ABCD的边AB为直径作⊙O，边CD与⊙O相切于点E，边AD与⊙O相交于点F，已知AB=12，∠C=60°
（1）求弧EF的长；
（2）线段CE的长为2$\sqrt{3}$+6．

Answer 1

分析 （1）首先证明△AOF是等边三角形．求出扇形的圆心角∠EOF即可解决问题．
（2）作BM⊥CD于M．易证四边形OEMB是正方形，OE=EM=BM=OB=6，在Rt△CBM中，求出CM即可．

解答 解：（1）如图，连接OF、OE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C=60°，CD∥AB，
∵OA=OF，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠AOF=60°，
∵CD是⊙O切线，
∴OE⊥CD，∵CD∥AB，
∴OE⊥AB，
∴∠AOE=90°，
∴∠EOF=30°，
∴$\widehat{EF}$的长为$\frac{30•π•6}{180}$=π．

（2）作BM⊥CD于M．易证四边形OEMB是正方形，OE=EM=BM=OB=6，
在Rt△CBM中，∵∠C=60°，BM=6，
∴tan60°=$\frac{BM}{CM}$，
∴$\sqrt{3}$=$\frac{6}{CM}$，
∴CM=2$\sqrt{3}$，
∴CE=CM+EM=2$\sqrt{3}$+6，
故答案为2$\sqrt{3}$+6．

点评 本题考查切线的性质、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、扇形的面积公式、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用知识解决问题，属于中考常考题型．