Question

12．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E为边AD上的一个动点（与点A、D不重合），∠EBM=45°，BE交对角线AC于点F，BM交于AC于点G，交CD于点M．
（1）求DE：CG的值；
（2）设AE=x，S_△BEG=y．
①求y关于x的函数表达式及x的取值范围．
②当图中点E、M关于对角线BD成轴对称时，求y的值．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD为正方形，得到∠BDE=∠BCG=∠CBD=45°，BD=$\sqrt{2}$BC，再由∠EBM=45°，利用等式的性质得到一对角相等，利用两对角相等的三角形相似得到三角形BDE与三角形BCG相似，利用相似三角形对应边成比例即可求出所求；
（2）①由四边形ABCD为正方形，且三角形BDE与三角形BCG相似，得到对应边成比例，进而确定出三角形BEG与三角形BAD相似，得到三角形BEG为等腰直角三角形，表示出y与x的函数解析式即可；
②若E、M关于对角线BD成轴对称，连接EM，交AC于点H，可得BD垂直平分EM，BE为角平分线，进而得到AE=HE=DH，求出x的值，代入计算即可求出y的值．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BDE=∠BCG=∠CBD=45°，BD=$\sqrt{2}$BC，
∵∠EBM=45°，
∴∠DBE=∠CBG，
∴△BDE∽△BCG，
∴DE：CG=BD：BC=$\sqrt{2}$：1；
（2）①∵四边形ABCD是正方形，且△BDE∽△BCG，
∴BE：BG=BD：BC=BD：AB=$\sqrt{2}$：1，
∴△BEG∽△BAD，
∴△BEG为等腰直角三角形，
∴y=S_△BEG=$\frac{1}{4}$x²+9（0＜x＜6）；
②若E、M关于对角线BD成轴对称，连接EM，交BD于点H，
∴BD垂直平分EM，BE平分∠ABD，
∴AE=HE=DH，DE=$\sqrt{2}$HE，
∴6-x=$\sqrt{2}$x，即x=6$\sqrt{2}$-6，
则y=$\frac{1}{4}$×（6$\sqrt{2}$-6）²+9=36-18$\sqrt{2}$．

点评 此题属于四边形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，以及正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．