Question

19．如图1，矩形ABCD中，AB=6，动点P从点A出发，沿A→B→C的方向在AB和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，y关于x的函数图象由C₁、C₂两段组成，如图2所示．
（1）求AD的长；
（2）求图2中C₂段图象的函数解析式；
（3）当△APD为等腰三角形时，求y的值．

Answer 1

分析 （1）由图1和图2直接确定出AD；
（2）先利用互余即可得出∠BAP=∠DGA，进而判断出△ABP∽△DGA即可确定出函数关系式；
（3）分三种情况利用等腰三角形的性质和勾股定理求出x的值，即可求出y的值．

解答 解：（1）如图，
当点P在AB上移动时，点P到PA的距离不变，当点P从B点向C点移动时，点D到PA的距离在变化，
由图2知，AD=10，

（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABP=∠BAD=90°，
∵DG⊥AP，
∴∠AGD=90°，
∴∠ABP=∠DGA，
∵∠BAP+∠GAD=90°，∠CAG+∠ADG=90°，
∴∠BAP=∠DGA，
∴△ABP∽△DGA，
∴$\frac{AB}{DG}=\frac{AP}{AD}$，
∵AB=6，AP=x，DG=y，AD=10，
∴$\frac{6}{y}=\frac{x}{10}$，
∴y=$\frac{60}{x}$（6＜x≤2$\sqrt{34}$）；
即：图2中C₂段图象的函数解析式y=$\frac{60}{x}$（6＜x≤2$\sqrt{34}$）；

（3）∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=6，BC=AD=10，∠ABC=∠DCB=90°，
当AD=AP时，∵AD=10，
∴x=AP=10，
∴y=$\frac{60}{10}$=6，
当AD=DP时，∴DP=10，
在Rt△DCP中，CD=AB=6，DP=10，
∴CP=8，
∴BP=BC-CP=2，
在Rt△ABP中，根据勾股定理得，x=AP=$\sqrt{A{B}^{2}+B{P}^{2}}$=$\sqrt{36+4}$=2$\sqrt{10}$，
∴y=$\frac{60}{x}$=$\frac{60}{2\sqrt{10}}$=3$\sqrt{10}$，
当AP=DP时，点P是线段AD的垂直平分线，
∴点P是BC的中点，
∴BP=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AD=5，
在Rt△ABP中，根据勾股定理得，x=AP=$\sqrt{A{B}^{2}+B{P}^{2}}$=$\sqrt{36+25}$=$\sqrt{61}$，
∴y=$\frac{60}{x}$=$\frac{60}{\sqrt{61}}$=$\frac{60\sqrt{61}}{61}$．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理线段垂直平分线定理，解（2）的关键是判断出△ABP∽△DGA，解（3）的关键是分类讨论的思想，是一道中等难度的题目．