Question

7．如图，已知OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为坐标原点，点A（15，0），点C（0，9），在边AB上任取一点D，将△AOD沿OD翻折，使点A落在BC边上，记为点E．
（1）OA的长=15，OE的长=15，CE的长=12，AD的长=5；
（2）设点P在x轴上，且OP=EP，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）由题意可得OA的长，然后由折叠的性质，可求得OE的长，然后由勾股定理求得CE的长，再设AD=x，则DE=AD=x，BD=AB-AD=9-x，由BD²+BE²=DE²，可得方程（9-x）²+3²=x²，继而求得答案；
（2）首先过点E作EF⊥OA于点F，易得四边形OCEF是矩形，然后由股定理得方程（12-m）²+9²=m²，解方程即可求得答案．

解答 解：（1）∵OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为坐标原点，点A（15，0），点C（0，9），
∴OA=BC=15，OC=AB=9，
∵将△AOD沿OD翻折，使点A落在BC边上，记为点E，
∴OE=OA=15，
∴CE=$\sqrt{O{E}^{2}-O{C}^{2}}$=12，
∴BE=BC-CE=3，
设AD=x，则DE=AD=x，BD=AB-AD=9-x，
∵BD²+BE²=DE²，
∴（9-x）²+3²=x²，
解得：x=5，
∴AD=5．
故答案为：15，15，12，5；

（2）过点E作EF⊥OA于点F，
∵∠COA=∠BCO=∠OFE=90°，
∴四边形OCEF是矩形，
∴OF=CE=12，EF=OC=9，
设OP=m，则EP=OP=m，PF=12-m，
在Rt△EPF中，PF²+EF²=EP²，
∴（12-m）²+9²=m²，
解得：m=$\frac{75}{8}$，
∴点P的坐标为：（$\frac{75}{8}$，0）．

点评 此题考查了折叠的性质与矩形的性质以及勾股定理．注意利用勾股定理列方程是关键．