Question

2．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，2），B（1，1）
（1）若点P（m，$\frac{3}{2}$）在线段AB上，求点P的坐标；
（2）以点O，A，B，C（1，0）为顶点的四边形，被直线y=kx-k（k＜0）分成两部分，设靠近原点的一侧的面积为s，求s关于k的函数解析式．

Answer 1

分析 （1）根据点A、B的坐标利用待定系数法可求求出直线AB的解析式，将点P的坐标代入直线AB的解析式中即可求出m值，由此即可得出点P的坐标；
（2）由y=kx-k=k（x-1）可知直线y=kx-k过点C（1，0），分0＞k≥-2和k＜-2两种情况考虑，利用三角形、梯形的面积结合分割图形求面积法即可得出s关于k的函数解析式．

解答 解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），
将A（0，2）、B（1，1）代入y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{k+b=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=-x+2．
∵点P（m，$\frac{3}{2}$）在线段AB上，
∴$\frac{3}{2}$=-m+2，
解得：m=$\frac{1}{2}$．
∴点P的坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）．
（2）依照题意画出图形，如图所示．
∵y=kx-k=k（x-1），
∴直线y=kx-k过点C（1，0）．
①当-k≤2，即0＞k≥-2时，设直线y=kx-k与y轴的交点为E，
则点E的坐标为（0，-k），
此时s=$\frac{1}{2}$OC•OE=$\frac{1}{2}$×1×（-k）=-$\frac{1}{2}$k；
②当-k＞2，即k＜-2时，设直线y=kx-k与线段AB的交点为F，
联立直线CF、AB的解析式成方程组，
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-k}\\{y=-x+2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{k+2}{k+1}}\\{y=\frac{k}{k+1}}\end{array}\right.$，
∴点F的坐标为（$\frac{k+2}{k+1}$，$\frac{k}{k+1}$），
此时s=$\frac{1}{2}$OC•（OA+BC）-$\frac{1}{2}$BC•（x_B-x_F）=$\frac{1}{2}$×1×（2+1）-$\frac{1}{2}$×1×（1-$\frac{k+2}{k+1}$）=$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2（k+1）}$．
综上所述：s关于k的函数解析式为s=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}k（-2≤k＜0）}\\{\frac{3}{2}+\frac{1}{2（k+1）}（k＜-2）}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及梯形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标利用待定系数法求出直线AB的解析式；（2）分0＞k≥-2和k＜-2两种情况考虑．