Question

7．如图，在正方形ABCD中，点E，F，G，H均在其内部，且DE=EF=FG=GH=HB=1，∠E=∠F=∠G=∠H=60°，则AB=$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 连接DF、FH可得△DEF、△EFG和△FGH是等边三角形，根据等边三角形的每一个角都是60°可得∠DFE=∠EFG=∠GFH=60°，然后判断出D、F、H三点共线，连接EG、BG，同理可得E、G、B三点共线，从而得到四边形DHBE是平行四边形，再连接BD、EH，根据平行四边形的对角线互相平分可得BD=2OD，再求出O是FG的中点，根据等边三角形的性质可得EO⊥FG，OE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$EF，再求出∠OED=90°，利用勾股定理列式求出OD，从而得到BD，然后根据正方形的对角线等于边长的$\sqrt{2}$倍列式计算即可得解．

解答 解：如图，连接DF、FH，
∵DE=EF=FG=GH，∠E=∠F=∠G，
∴△DEF、△EFG和△FGH是等边三角形，
∴∠DFE=∠EFG=∠GFH=60°，
∴D、F、H三点共线，
连接EG、BG，
同理可得E、G、B三点共线，
∵∠E=∠F=∠G=∠H=60°，
∴DE∥FG∥BH，
又∵DE=FG=HB，
∴四边形DHBE是平行四边形，
连接BD、EH，则BD=2OD，点O是FG的中点，
∴EO⊥FG，OE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$EF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×1=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又∵DE∥FG，
∴∠OED=90°，
在Rt△DOE中，由勾股定理得，OD=$\sqrt{O{E}^{2}+D{E}^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$
∴BD=$\sqrt{7}$，
由正方形的性质，边长AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD=$\sqrt{7}$，
故答案为：$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了正方形的性质的运用，平行四边形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理的应用，难度较大，灵活性较强，作辅助线构造出平行四边形与直角三角形是解题的关键．