Question

2．已知a＞-2，若当1≤x≤2时，函数y=$\frac{a}{x}$（a≠0）的最大值与最小值之差是1，求a的值．

Answer 1

分析 此题要把a的取值范围分成两种情况：（1）当-2＜a＜0时，（2）当a＞0时，再分别根据反比例函数的性质去x=1，x=2时列出方程求解．

解答 解法1：（1）当-2＜a＜0时，
在1≤x≤2范围内y随x的增大而增大，
∴$\frac{a}{2}$-a=1．
∴a=-2
不合题意，舍去．

（2）当a＞0时，
在1≤x≤2范围内y随x的增大而减小，
∴a-$\frac{a}{2}$=1．
∴a=2．
综上所述a=2．

解法2：（1）当a＜0时，
在1≤x≤2范围内y随x的增大而增大，
∴$\frac{a}{2}$-a=1．
∴a=-2．
又∵-2＜a＜0
∴a=-2不合题意，舍去．
（2）当a＞0时，
在1≤x≤2范围内y随x的增大而减小，
∴a-$\frac{a}{2}$=1．
∴a=2．
∴b=1．而a²-ab+2=4＞0，符合题意，
∴a=2．
综上所述，a=2．

点评 此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数的性质（1）反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象是双曲线；（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．