Question

6．锐角△ABC中，已知∠B＞∠C，I为内心，R为外接圆半径，AD为边BC上的高线，点K在直线AD上，满足AK=2R，证明：∠KID=$\frac{∠B-∠C}{2}$．

Answer 1

分析 连接AI并延长交BC于E，交⊙O于T．连接CI、CT、，连接AO并延长交⊙O于M，连接MC、MT、KT．首先证明∠DAI=$\frac{1}{2}$（∠B-∠C），想办法证明△KID∽△KAI，推出∴∠KID=∠DAT=$\frac{1}{2}$（∠B-∠C），即可解决问题．

解答 证明：连接AI并延长交BC于E，交⊙O于T．连接CI、CT、，连接AO并延长交⊙O于M，连接MC、MT、KT．
∵I是内心，AD⊥BC，
∴∠CAI=∠BAI，∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠DAT=∠CAD-∠CAI=90°-∠ACB-$\frac{1}{2}$[180°-（∠B+∠ACB）]=$\frac{1}{2}$（∠B-∠C），
∵∠CIT=∠CAJ+∠ACI，∠ICT=∠ICB+∠TCB，∠CAI=∠BAI=∠BCT，∠ACI=∠ICB，
∴∠ICT=∠CIT，
∴CT=IT，
∵∠CTI=∠CTA，∠ECT=∠CAT，
∴△TCE∽△TAC，
∴TC²=TE•TA，即TI²=TE•TA，
∵∠CAM=∠DAB，
∴∠TAM=∠DAT，∵AM=AK，AT=AT，
∴△AMT≌△AKT，
∴∠ATK=∠ATM=90°，TK=TM，
∵∠ETk+∠EDK=180°，
∴E、D、K、T四点共圆，
∴AD•AK=AE•AT，
∴AK²-AD•AK=AK²-AE•AT，即KD•AK=4R²-AE•AT，
∵IK²=IT²+TK²=TE•TA+MT²=TE•TA+AM²-AI²=AM²-（AT²-TE•TA）=4R²-AT•AE，
∴IK²=KD•AK，∵∠IKD=∠AKI，
∴△KID∽△KAI，
∴∠KID=∠DAT=$\frac{1}{2}$（∠B-∠C）．

点评 本题考查内心、外心、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，题目比较难，条件的辅助线比较多，属于竞赛类题目．