Question

14．已知正方形OABC的面积为4，点O是坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0，k＞0）的图象上，点P（m，n）是函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0，k＞0）的图象上任意一点．过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F．若设矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面积为S．
（1）求B点的坐标和k的值；
（2）当S=$\frac{8}{3}$时，求点P的坐标；
（3）写出S关于m的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质得出OA=OC=AB=BC=2，从而得出点B坐标，而点B在双曲线上，求出k；
（2）先求出矩形CDPF的面积，借助双曲线的性质得出S的函数关系式，又有mn=4，联立方程组求出点P的坐标．
（3）分两种情况，先求出点D的坐标，进而求出四边形OCDE的面积，用面积之差即可得出结论．

解答 解：（1）∵正方形ABCD的面积为4，
∴OA=AB=BC=OC=2，
∴B（2，2），
∵点B在函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0，k＞0）的图象上，
∴k=2×2=4，
 （2）如图，

由（1）知，点B（4，4）
∴PF=|m-4|，PD=PC=|n-4|，
∴S_矩形FCDP=|m-4|×|n-4|=|（m-4）（n-4）|=（m-4）（4-n），
由双曲线的性质，得，S=2S_矩形FCDP=2（m-4）（4-n），
∵S=$\frac{8}{3}$，
∴2（m-4）（4-n）=$\frac{8}{3}$①
由（1）知，mn=4②，
联立①②得，$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{4}{3}}\\{n=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=3}\\{n=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
∴P（$\frac{4}{3}$，3）或（3，$\frac{4}{3}$）
（3）
当0＜m≤2时，∵B（2，2），P（m，n），
∴D（m，2），∴OE=m，OC=2，
∴∴S_{四边形OCDE}=OE×OC=2m，
∴S=2（S_{四边形OABC}-S_{四边形OCDE}）=2（4-2m）=8-4m，
当m＞2时，同（1）的方法得，S=8-$\frac{16}{m}$

点评 此题是反比例函数综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，双曲线的性质，解本题的关键是求出矩形FCDP的面积．