Question

10．如图，MN切⊙O的弦于P，AB是⊙O的弦，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N，PQ⊥AB于Q，求证：PQ²=AM•BN．

Answer 1

分析 连接AP，BP，根据垂直的定义得到∠AMP=∠PQB=90°，根据相似三角形的性质得到$\frac{PQ}{AM}$=$\frac{BN}{PQ}$，同理可得：$\frac{PB}{PA}$=$\frac{BN}{PQ}$，等量代换得到$\frac{PQ}{AM}=\frac{BN}{PQ}$，于是得到结论．

解答 证明：连接AP，BP，
∵AM⊥MN于M，PQ⊥AB于Q．
∴∠AMP=∠PQB=90°，
∵∠1=∠2，
∴△PAM∽△BPQ，
∴$\frac{PQ}{AM}$=$\frac{BN}{PQ}$，
同理可得：$\frac{PB}{PA}$=$\frac{BN}{PQ}$，
∴$\frac{PQ}{AM}=\frac{BN}{PQ}$，
∴PQ²=AM•BN．

点评 本题考查了和圆有关的比例线段的证明题，可由所要证的比例式找到相似三角形；当要证明的比例式不能直接应用有关定理和相似三角形来证明时，可以考虑等量代换．等量代换通常有等线段代换、等比代换等．