Question

19．如图，正八边形的边长为2，点C的坐标是（$\sqrt{2}$，0）．
（1）写出其余各点的坐标；
（2）如果在（1）中作出正八边形关于x轴对称的图形，则可以得到一个“8”字形，试写出这个“8”字形另外六个顶点的坐标；
（3）试换一个点为原点，建立另一个坐标系，并写出各个顶点的坐标．

Answer 1

分析 （1）由正八边形的性质即可得出各个顶点的坐标；
（2）作出图形，容易得出各个顶点坐标；
（3）以C为原点，建立直角坐标系，容易得出各个顶点坐标．

解答 解：（1）∵正八边形的边长为2，点C的坐标是（$\sqrt{2}$，0）．
∴OB=OC=$\sqrt{2}$，OA=OD=2+$\sqrt{2}$，
∴A（0，2+$\sqrt{2}$），B（0，$\sqrt{2}$），D（2+$\sqrt{2}$，0），E（2+2$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），
F（2+2$\sqrt{2}$，2+$\sqrt{2}$），G（2+$\sqrt{2}$，2+2$\sqrt{2}$），H（$\sqrt{2}$，2+2$\sqrt{2}$）；
（2）正八边形关于x轴对称的图形，
如图1所示：
另外六个顶点的坐标分别为（0，-2-$\sqrt{2}$），（0，-$\sqrt{2}$），（2+2$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$），（2+2$\sqrt{2}$，-2-$\sqrt{2}$），（2+$\sqrt{2}$，-2-2$\sqrt{2}$），（$\sqrt{2}$，-2-2$\sqrt{2}$）；
（3）以C为原点，建立直角坐标系，
如图2所示：
各个顶点的坐标分别为A（-$\sqrt{2}$，2+$\sqrt{2}$），B（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），C（0，0），D（2+$\sqrt{2}$，0），
E（2+$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），F（2+$\sqrt{2}$，2+$\sqrt{2}$），G（2，2+2$\sqrt{2}$），H（0，2+2$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查的是正多边形的性质、轴对称图形以及关于x轴得出的点的坐标；熟练掌握正八边形的性质是解决问题的关键．