Question

10．如图，在Rt△ABC，∠C=90°，点O在斜边AB上，以O为圆心，OA为半径的⊙O与直角边BC相切于点D．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若CD=3，BD=5，求AC的长；
（3）如图，若直线BC向上平移后交⊙O于点D．E，⊙O交AB于点F，求证：∠CAD=∠BAE．

Answer 1

分析 （1）连接OD．由切线的性质可知：OD⊥BC，从而可得到DO∥AC，由平行线的性质可知∠ODA=∠DAC，然后由∠ODA=∠OAD可得到∠OAD=∠DAC，故此AD平分∠BAC；
（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E．由角平分线的性质可知DE=DC=3，然后利用HL可证明Rt△AED≌Rt△ACD，从而可知AE=AC，在Rt△BDE中，由勾股定理可知BE=4，设AC=AE=x，则AB=4+x，在Rt△ABC中由勾股定理得（x+4）²=x²+8²，解得x=6，从而得到AC=6；
（3）如图3所示，连接EF．由直角所对的圆周等于90度可得到∠FEA=∠C，由圆内接四边形的性质可知∠AFE=∠ADE，根据三角形的内角和定理可知∠CAD=∠FAE．

解答 解：（1）连接OD．

∵BC是圆O的切线，
∴OD⊥BC．
∵∠AC⊥BC，
∴DO∥AC．
∴∠ODA=∠DAC．
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD．
∴∠OAD=∠DAC．
∴AD平分∠BAC．
（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E．

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE=DC=3．
在Rt△AED和Rt△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{ED=DC}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴Rt△AED≌Rt△ACD．
∴AE=AC．
在Rt△BDE中，BE=$\sqrt{B{D}^{2}-D{E}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4．
设AC=AE=x，则AB=4+x．
在Rt△ABC中，AB²=AC²+CB²，即（x+4）²=x²+8²．
解得：x=6．
∴AC=6．
（3）如图3所示，连接EF．

∵AF是圆O的直径，
∴∠FEA=90°．
∴∠FEA=∠C．
∵四边形FEDA是圆内接四边形，
∴∠AFE=∠ADE．
∴∠CAD=∠FAE．

点评 本题主要考查的是切线的性质、角平分线的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理的应用，圆内接四边形的性质、圆周角定理的应用，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．