Question

19．如图，在平面直角坐标系的第一象限内有一点p（x，y），点P到原点的距离OP=r，且PO与x轴的正半轴成α角．
（1）用x，y，r表示角α的正弦和余弦；
（2）求sin²α+cos²α的值，通过计算你有何发观？
（3）用x，y，r表示角90°-α的正弦和余弦，并与角α的正弦和余弦作比较．你又有何发观？

Answer 1

分析 （1）作PH⊥x轴于H，如图，由P点坐标得OH=x，PH=y，然后在Rt△OPH，利用正弦和余弦的定义易得sinα=$\frac{y}{r}$，cosα=$\frac{x}{r}$；
（2）由于sin²α+cos²α=$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{{r}^{2}}$，利用勾股定理得到x²+y²=r²，所以sin²α+cos²α=1，于是可判断一个锐角的正弦和余弦的平方和等于1；
（3）利用正弦与余弦的定义易得cos（90°-α）=$\frac{y}{r}$，sin（90°-α）=$\frac{x}{r}$，即sinα=cos（90°-α），cosα=sin（90°-α）．

解答 解：（1）作PH⊥x轴于H，如图，
∵P点坐标为（x，y），
∴OH=x，PH=y，
在Rt△OPH，sin∠POH=$\frac{y}{r}$，cos∠POH=$\frac{x}{r}$，
即sinα=$\frac{y}{r}$，cosα=$\frac{x}{r}$；
（2）sin²α+cos²α=（$\frac{y}{r}$）²+（$\frac{x}{r}$）²=$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{{r}^{2}}$，
而OH²+PH²=OP²，即x²+y²=r²，
∴sin²α+cos²α=1，
即一个锐角的正弦和余弦的平方和等于1；
（3）在Rt△OPH，cos∠OPH=$\frac{y}{r}$，sin∠OPH=$\frac{x}{r}$，
即cos（90°-α）=$\frac{y}{r}$，sin（90°-α）=$\frac{x}{r}$，
∴sinα=cos（90°-α），cosα=sin（90°-α）．

点评 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．解决本题的关键是灵活应用勾股定理和锐角三角函数的定义．