Question

7．如图，BA⊥MN，垂足为A，BA=4，点P是射线AN上的一个动点（点P与点A不重合），且∠BPC=∠BPA，BC⊥BP，过点C作CD⊥MN，垂足为D，设AP=x
（1）CD的长度是否随着的x变化而变化？若变化，请用含的x代数式表示CD的长度；若不变化，请求出线段CD的长度；
（2）当x取何值时，△ABP和△CDP相似．

Answer 1

分析 （1）如图1，延长CB和PA，记交点为点Q．根据等腰△QPC“三合一”的性质证得QB=BC；由相似三角形（△QAB∽△QDC）的对应边成比例得到$\frac{AB}{CD}$=$\frac{QB}{QC}$=$\frac{1}{2}$，则CD=2AB；
（2）当△BAP∽△CDP时，易得∠BPA=60°，x=AP=$\frac{BA}{tan60°}$=$\frac{4}{\sqrt{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，当△BAP∽△PDC时，易得∠BPA=30°，AP=$\frac{BA}{tan30°}$=$\frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=4$\sqrt{3}$，求出x的值即可．

解答 解：（1）CD的长度不变化．
理由如下：
如图1，延长CB和PA，记交点为点Q．
∵∠BPC=∠BPA，BC⊥BP，
∴QB=BC（等腰三角形“三合一”的性质）．
∵BA⊥MN，CD⊥MN，
∴AB∥CD，
∴△QAB∽△QDC，
∴$\frac{AB}{CD}$=$\frac{QB}{QC}$=$\frac{1}{2}$，
∴CD=2AB=2×4=8，
即CD=8；
（2）当△BAP∽△CDP时，
∵∠BPC=∠BPA，∠CPD=∠BPA，
∴∠BPA=∠BPC=∠CPD=60°，
∴AP=$\frac{BA}{tan60°}$=$\frac{4}{\sqrt{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
即x=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$；
如图2，当△BAP∽△PDC时，
∵∠CPB=∠BPA，∠PCD=∠BPA，
∴3∠BPA=90°，
∴∠BPA=30°，
∴AP=$\frac{BA}{tan30°}$=$\frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=4$\sqrt{3}$，
即x=4$\sqrt{3}$；
即当x=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$或4$\sqrt{3}$时，△ABP和△CDP相似．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质和锐角三角函数关系等知识，熟练利用相似三角形的性质得出线段之间的关系是解题关键．