Question

在平面直角坐标系中，抛物线y=-

m-1

2

x²+

3

2

mx+m²-3m+2与x轴的交点分别为原点O和点A，点B（4，n）在这条抛物线上．
（1）求B点的坐标；
（2）将此抛物线的图象向上平移

7

2

个单位，求平移后的图象的解析式；
（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线y=

1

2

x+b与此图象有两个公共点时，b的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）把原点坐标代入抛物线，解关于m的一元二次方程得到m的值，再根据二次项系数不等于0确定出函数解析式，再把点B坐标代入函数解析式求出n的值，即可得解；
（2）根据向上平移纵坐标加解答即可；
（3）把直线解析式与抛物线解析式联立，消掉y得到关于x的一元二次方程，根据△=0求出b的值，然后令y=0求出抛物线与x轴的交点坐标，再求出直线经过抛物线与x轴左边交点的b值，然后根据图形写出b的取值范围即可．

解答：解：（1）∵抛物线经过原点O，
∴m²-3m+2=0，
解得m₁=1，m₂=2，
当m=1时，-

m-1

2

=-

1-1

2

=0，
∴m=2，
∴抛物线的解析式为y=-

1

2

x²+3x，
∵点B（4，n）在这条抛物线上，
∴n=-

1

2

×4²+3×4=-8+12=4，
∴点B（4，4）；

（2）∵抛物线的图象向上平移

7

2

个单位，
∴平移后的图象的解析式y=-

1

2

x²+3x+

7

2

；

（3）联立

y=- 1 2 x2+3x+ 7 2 y= 1 2 x+b

，
消掉y得，-

1

2

x²+3x+

7

2

=

1

2

x+b，
整理得，x²-5x+2b-7=0，
△=（-5）²-4×1×（2b-7）=0，
解得b=

53

8

，
令y=0，则-

1

2

x²+3x+

7

2

=0，
整理得，x²-6x-7=0，
解得x₁=-1，x₂=7，
∴抛物线与x轴左边的交点为（-1，0），
当直线y=

1

2

x+b经过点（-1，0）时，

1

2

×（-1）+b=0，
解得b=

1

2

，
当该直线经过点（7，0）时，

1

2

×7+b=0，
解得b=-

7

2

，
∴当直线y=

1

2

x+b与此图象有两个公共点时，b的取值范围为b＞

53

8

或-

7

2

＜b＜

1

2

．

点评：本题是二次函数综合题，主要利用了解一元二次方程，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，难点在于（3）求出直线与抛物线有三个交点时的b值，作出图形更形象直观．