Question

【题目】已知，如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠ABC=30°，∠ACB=50°．

（1）求∠DAE的度数；

（2）写出∠DAE与∠ACB﹣∠ABC的数量关系：　 　，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）∠DAE=10°；（2）∠DAE=（∠ACB﹣∠ABC），理由见解析.

【解析】试题分析：（1）先根据三角形内角和得到∠CAB=180°﹣∠B﹣∠C=100°，再根据角平分线与高线的定义得到∠CAE=∠CAB=50°，∠ADC=90°，则∠CAD=90°﹣∠C=40°，然后利用∠DAE=∠CAE﹣∠CAD计算即可．

（2）根据题意可以用∠B和∠C表示出∠CAD和∠CAE，从而可以得到∠DAE与∠C﹣∠B的关系．

试题解析：（1）∵∠ABC=30°，∠ACB=50°，

∴∠CAB=180°﹣∠B﹣∠C=100°，

∵AE是△ABC角平分线，

∴∠CAE=∠CAB=50°，

∵AD分别是△ABC的高，

∴∠ADC=90°，

∴∠CAD=90°﹣∠C=40°，

∴∠DAE=∠CAE﹣∠CAD=50°﹣40°=10°．

（2）∠DAE=（∠ACB﹣∠ABC），

理由：∵在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，

∴∠CAB=180°﹣∠B﹣∠C，∠CAD=90°﹣∠C，∠CAE=（180°﹣∠B﹣∠C），

∴∠DAE=（180°﹣∠B﹣∠C）﹣（90°﹣∠C）=（∠C﹣∠B）．