Question

【题目】如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AO⊥BC于点O，点F是线段AO上的点(与A，O不重合)，∠EAF=90°，AE=AF，连接FE，FC，BE，BF.

(1)求证：BE=BF；

(2)如图②，若将△AEF绕点A旋转，使边AF在∠BAC的内部，延长CF交AB于点G，交BE于点K.求证：△AGC∽△KGB.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）通过证明△EAB≌△FAB，即可得到BE=BF；

（2）首先证明△AEB≌△AFC，由相似三角形的性质可得：∠EBA=∠FCA，进而可证明△AGC∽△KGB．

试题解析：（1）证明：∵AB=AC，AO⊥BC，∴∠OAC=∠OAB=45°，∴∠EAB=∠EAF﹣∠BAF=45°，∴∠EAB=∠BAF，在△EAB和△FAB中，∵AE=AF，∠FAB=∠BAF，AB=AB，∴△EAB≌△FAB（SAS），∴BE=BF；

（2）证明：∵∠BAC=90°，∠EAF=90°，∴∠EAB+∠BAF=∠BAF+∠FAC=90°，∴∠EAB=∠FAC，在△AEB和△AFC中，∵AE=AF，∠EAB=∠FAC，AB=AC，∴△AEB≌△AFC（SAS），∴∠EBA=∠FCA，又∵∠KGB=∠AGC，∴△AGC∽△KGB．