Question

18．阅读下列材料：
（1）关于x的方程x²-3x+1=0（x≠0）方程两边同时乘以$\frac{1}{x}$得：$x-3+\frac{1}{x}=0$即$x+\frac{1}{x}=3$，${（{x+\frac{1}{x}}）^2}={x^2}+\frac{1}{x^2}+2•x•\frac{1}{x}={x^2}+\frac{1}{x^2}+2$，${x^2}+\frac{1}{x^2}={（{x+\frac{1}{x}}）^2}-2={3^2}-2=7$
（2）a³+b³=（a+b）（a²-ab+b²）；a³-b³=（a-b）（a²+ab+b²）．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）x²-4x+1=0（x≠0），则$x+\frac{1}{x}$=4，${x^2}+\frac{1}{x^2}$=14，${x^4}+\frac{1}{x^4}$=194；
（2）2x²-7x+2=0（x≠0），求${x^3}+\frac{1}{x^3}$的值．

Answer 1

分析 （1）模仿例题利用完全平方公式即可解决．
（2）模仿例题利用完全平方公式以及立方和公式即可．

解答 解；（1）∵x²-4x+1=0，
∴x+$\frac{1}{x}$=4，
∴（x+$\frac{1}{x}$）²=16，
∴x²+2+$\frac{1}{{x}^{2}}$=16，
∴x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$=14，
∴（x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$）²=196，
∴x⁴+$\frac{1}{{x}^{4}}$+2=196，
∴x⁴+$\frac{1}{{x}^{4}}$=194．
故答案为4，14，194．
（2）∵2x²-7x+2=0，
∴x+$\frac{1}{x}$=$\frac{7}{2}$，x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{41}{4}$，
∴${x^3}+\frac{1}{x^3}$=（x+$\frac{1}{x}$）（x²-1+$\frac{1}{{x}^{2}}$）=$\frac{7}{2}$×（$\frac{41}{4}$-1）=$\frac{259}{8}$．

点评 本题考查一元一次方程的解、完全平方公式、立方和公式，解决问题的关键是灵活应用完全平方公式，记住两边平方不能漏项（利用完全平方公式整体平方），属于中考常考题型．