Question

11．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°），得到△DEC，设CD交AB于点F，连接AD，当α=40°时，AD=AF．

Answer 1

分析 由AD=AF，得出∠AFD=∠ADC，由旋转的性质得AC=CD，即∠ADC=∠CAD，由三角形的内角和定理得出∠ADC=$\frac{1}{2}$（180°-α），由三角形的外角性质得出∠AFD=∠BAC+α=30°+α，从而得出30°+α=$\frac{1}{2}$（180°-α），解方程即可得出结果．

解答 解：∵AD=AF，
∴∠AFD=∠ADC，
∵将△ABC绕点C按顺时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°），得到△DEC，
∴AC=CD，∠ACD=α，
∴∠ADC=∠CAD，
∵在△ACD中，∠ADC=180°-∠CAD-α，
∴∠ADC=$\frac{1}{2}$（180°-α），
∵∠AFD=∠BAC+α=30°+α，
∴30°+α=$\frac{1}{2}$（180°-α），
解得：α=40°，
故答案为40°．

点评 本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质等知识；熟练掌握旋转的性质，根据角的关系得出方程是解决问题的关键．