Question

5．如图，A、B是⊙O上两点，有下列四种寻找$\widehat{AB}$的中点C的方法：
①连接OA、OB，作∠AOB的角平分线交$\widehat{AB}$于点C；
②连接AB，作OH⊥AB于H，交$\widehat{AB}$于点C；
③在优弧$\widehat{AmB}$上取一点D，作∠ADB的平分线交$\widehat{AB}$于点C；
④分别过A、B作⊙O的切线，两切线交于点P，连接OP交$\widehat{AB}$于点C．
其中正确的有（　　）

• A． 1种
• B． 2种
• C． 3种
• D． 4种

Answer 1

分析 根据圆心角、弧、弦的关系对①进行判断；根据垂径定理对②进行判断；根据圆周角定理对③进行判断；如图3，先根据切线长定理和切线的性质得OP平分∠APB，OA⊥AP，OB⊥PB，则利用等角的余角相等得到∠AOC=∠BOC，然后根据圆心角、弧、弦的关系可对④进行判断．

解答 解：作∠AOB的角平分线交$\widehat{AB}$于点C，如图1，

则∠AOC=∠BOC，所以$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$，所以①正确；
如图1，∵OH⊥AB于H，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$，所以②正确；
如图2，∵∠ADC=∠BDC，

所以$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$，所以③正确；
如图3，

∵PA、PB为⊙O的切线，
∴OP平分∠APB，OA⊥AP，OB⊥PB，
∴∠AOC=∠BOC，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$，所以④正确．
故选D．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理和圆心角、弧、弦的关系．