Question

15．如图，CD是AB上的高，AC=4，BC=3，DB=$\frac{9}{5}$
（1）求CD的长．
（2）求AD的长．
（3）判断△ABC的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由CD是AB上的高，得到三角形BCD为直角三角形，由BC与DB，利用勾股定理求出CD的长；
（2）由CD是AB上的高，得到三角形ACD为直角三角形，由AC与CD，利用勾股定理求出AD的长；
（3）三角形ABC为直角三角形，理由为：由BD+AD求出AB的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ABC为直角三角形．

解答 解：（1）∵CD是AB上的高，BC=3，DB=$\frac{9}{5}$，
∴CD=$\sqrt{B{C}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{9-\frac{81}{25}}$=$\frac{12}{5}$；

（2）∵CD是AB上的高，AC=4，CD=$\frac{12}{5}$，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{16-\frac{144}{25}}$=$\frac{16}{5}$；

（3）△ABC是直角三角形．理由是：
∵AB=BD+AD=$\frac{9}{5}$+$\frac{16}{5}$=5，
又∵AC=4，BC=3，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC为直角三角形．

点评 此题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，关键是掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方；三角形的三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形就是直角三角形．