题目内容
12．问题背景：如图①，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAP=60°，探究图中线段BE、EF、FD之间的等量关系，小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是EF=BE+FD．探索延伸：如图②，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
实际应用：如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙再指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向行驶60海里到达E处，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向行驶100海里到达F处，此时指挥中心观测到甲、乙两舰艇之间的夹角（∠EOF）为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
分析 问题背景：延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论；
探索延伸：延长CD至H，使DH=BE，连接AH，证明△ABE≌△ADH，再证明△EAF≌△HAF，可得出结论；
实际应用：连接EF，延长AE，BF相交于点M，根据探索延伸中的结论解答；
解答 解：（1）延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，
在Rt△ABE和Rt△ADG中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{BE=DG}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△ADG，
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∴∠GAF=∠EAF，
在△AEF和△AGF中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠EAF=∠GAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AGF，
∴EF=GF，
∴EF=BE+DF；
故答案为：EF=BE+FD；
（2）成立，EF=BE+FD；
理由：延长CD至H，使DH=BE，连接AH，
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADH+∠ADC=180°，
∴∠B=∠ADH，
在△ABE和△ADH中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠B=∠ADH}\\{DE=DH}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADH，
∴AE=AH，∠BAE=∠DAH，
∵∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠EAF=∠HAF，
在△EAF和△HAF中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=AH}\\{∠EAF=∠HAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△EAF≌△HAF，
∴FH=EF，
∴EF=BE+DF，
结论运用：解：如图3，连接EF，延长AE、BF交于点C，
∵∠AOB=30°+90°+（90°-70°）=140°，
∠EOF=70°，
∴∠EOF=$\frac{1}{2}$∠AOB，
∵OA=OB，
∠OAC+∠OBC=（90°-30°）+（70°+50°）=180°，
∴符合探索延伸中的条件
∴结论EF=AE+BF成立，
即EF=60+100=160海里，
答：此时两舰艇之间的距离是160海里．
点评 此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的运用、等腰直角三角形的性质，题目的综合性较强，难度较大，解题的关键是正确的作出辅助线构造全等三角形，解答时，注意类比思想的应用．
如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），OB=OA，且∠AOB=120°．
如图，已知AB∥CD，∠B=60°，∠E=25°，则∠D的度数为（ ）| A． | 25° | B． | 35° | C． | 45° | D． | 55° |