Question

2．如图（1）：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C在△ABC外作直线MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N．

（1）求证：MN=AM+BN．
（2）如图（2），若过点C在△ABC内作直线MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N，则图（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用互余关系证明∠MAC=∠NCB，又∠AMC=∠CNB=90°，AC=BC，故可证△AMC≌△CNB，从而有AM=CN，MC=BN，即可得出结论；
（2）类似于（1）的方法，证明△AMC≌△CNB，从而有AM=CN，MC=BN，可推出AM、BN与MN之间的数量关系．

解答 （1）证明：∵AM⊥MN，BN⊥MN，
∴∠AMC=∠CNB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠MAC+∠ACM=90°，∠NCB+∠ACM=90°，
∴∠MAC=∠NCB，
在△AMC和△CNB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AMC=∠CNB}&{\;}\\{∠MAC=∠NCB}&{\;}\\{AC=CB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AMC≌△CNB（AAS），
AM=CN，MC=NB，
∵MN=NC+CM，
∴MN=AM+BN；
（2）解：图（1）中的结论不成立，MN=BN-AM．理由如下：
∵AM⊥MN，BN⊥MN，
∴∠AMC=∠CNB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠MAC+∠ACM=90°，∠NCB+∠ACM=90°，
∴∠MAC=∠NCB，
在△AMC和△CNB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AMC=∠CNB}&{\;}\\{∠MAC=∠NCB}&{\;}\\{AC=CB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AMC≌△CNB（AAS），
AM=CN，MC=NB，
∵MN=CM-CN，
∴MN=BN-AM．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质．关键是利用互余关系推出对应角相等，证明三角形全等．