Question

2．如图，AB⊥x轴于点B，AB=3，tan∠AOB=$\frac{3}{4}$，将△OAB绕着原点O逆时针旋转90°，得到△OA₁B₁；再将△OA₁B₁绕着线段OB₁的中点旋转180°，得到△OA₂B₁，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点B、B₁、A₂．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在第四象限内，抛物线上的点P在什么位置时，△PA₂B₁的面积最大？求出这时点P的坐标．
（3）在第四象限内，抛物线上是否存在点Q，使点Q到线段A₂B₁的距离为$\frac{1}{4}$？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先根据旋转的性质确定点B、B₁、A₂三点的坐标，然后利用待定系数法求得抛物线的解析式；
（2）求出△PA₂B₁的面积表达式，这是一个关于P点横坐标的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出△PA₂B₁面积的最大值；值得注意的是求△A₂B₁面积的方法；
（3）本问引用了（2）问中三角形面积表达式的结论，利用解一元二次方程求得Q点的坐标．

解答 解：（1）∵AB⊥x轴，AB=3，tan∠AOB=$\frac{3}{4}$，
∴OB=4，
∴B（-4，0），B₁（0，-4），A₂（3，0）．
∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点B、B₁、A₂，
∴$\left\{\begin{array}{l}{16a-4b+c=0}\\{c=-4}\\{9a+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{3}}\\{b=\frac{1}{3}}\\{c=-4}\end{array}\right.$．
∴抛物线的解析式为：y=$\frac{1}{3}$x²+$\frac{1}{3}$x-4．

（2）设点P（m，$\frac{1}{3}$m²+$\frac{1}{3}$m-4）是第四象限内抛物线y=$\frac{1}{3}$x²+$\frac{1}{3}$x-4上的一点，$S=\frac{3}{2}（-\frac{1}{3}{m^2}-\frac{1}{3}m+4）+2m-6=-\frac{1}{2}{m^2}+\frac{3}{2}m$，
当$m=\frac{3}{2}$时，△PA₂B₁的面积最大，$\frac{1}{3}{m^2}+\frac{1}{3}m-4=-\frac{11}{4}$，
即点P（$\frac{3}{2}，-\frac{11}{4}$）；

（3）假设在第四象限的抛物线上存在点Q（n，$\frac{1}{3}$n²+$\frac{1}{3}$n-4），使点Q到A₂B₁的距离为$\frac{1}{4}$，
则$-\frac{1}{2}{n^2}+\frac{3}{2}n=\frac{5}{8}$，
解得${n_1}=\frac{5}{2}，{n_2}=\frac{1}{2}$．
因此，点Q的坐标是（$（\frac{5}{2}，-\frac{13}{12}）$）或（$（\frac{1}{2}，-\frac{15}{4}）$）．

点评 本题综合考查了待定系数法求抛物线解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一元二次方程、旋转与坐标变化、图形面积求法、勾股定理等重要知识点．第（2）问起承上启下的作用，是本题的难点与核心，其中的要点是坐标平面内图形面积的求解方法，这种方法是压轴题中常见的一种解题方法，同学们需要认真掌握．