Question

17．已知抛物线y₁=x²+4x+1的图象向上平移m个单位（m＞0）得到的新抛物线过点（1，8）．
（1）求m的值；
（2）将平移后的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，与平移后的抛物线没有变化的部分构成一个新的图象．请写出这个图象对应的函数y的解析式，并写出该函数在-3＜x≤-$\frac{2}{3}$时对应的函数值y的取值范围；
（3）设一次函数y₂=nx+3（n≠0），问是否存在正整数n使得（2）中函数的函数值y=y₂时，对应的x的值为-1＜x＜0？若存在，求出n的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线y₁=x²+4x+1的图象向上平移m个单位，可得y₂=x²+4x+1+m，再利用点（1，8）在图象上，求出m即可；
（2）根据函数解析式画出图象，即可得出函数大小分界点；
（3）根据当y=y₃且对应的-1＜x＜0时，x²+4x+3=nx+3，得出n取值范围即可得出答案．

解答 解：（1）由题意可得y₂=x²+4x+1+m，
又∵点（1，8）在图象上，
∴8=1+4×1+1+m，
∴m=2；

（2）如图所示：由（1）得平移后抛物线解析式为：y=x²+4x+3，
则在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方的抛物线解析式为：y=-x²-4x-3，
故y=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+4x+3（x≤-3或x≥-1）}\\{-{x}^{2}-4x-3（-3＜x＜-1）}\end{array}\right.$，
当-3＜x≤-$\frac{2}{3}$时，0＜y≤$\frac{7}{9}$；

（3）不存在，
理由：当y=y₃且对应的-1＜x＜0时，x²+4x+3=nx+3，
∴x₁=0，x₂=n-4，
且-1＜n-4＜0得3＜n＜4，
∴不存在正整数n满足条件．

点评 此题主要考查了二次函数的综合应用以及图象交点求法，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型，特别注意利用数形结合是这部分考查的重点，也是难点，同学们应重点掌握．