Question

9．某班“数学兴趣小组”对函数y=x+$\frac{1}{x}$的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：
（1）自变量x的取值范围是x≠0；
（2）如表是y与x的几组对应数值：

x

…

-3

-2

-1

-$\frac{1}{2}$

-$\frac{1}{3}$

$\frac{1}{3}$

$\frac{1}{2}$

1

2

3

…

y

…

-$\frac{10}{3}$

-$\frac{5}{2}$

-2

-$\frac{5}{2}$

-$\frac{10}{3}$

$\frac{10}{3}$

$\frac{5}{2}$

2

$\frac{5}{2}$

$\frac{10}{3}$

…

在平面直角坐标系中，描出了以表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
（3）进一步探究发现：该函数在第一象限内的最低点的坐标是（1，2），观察函数图象，写出该函数的另一条性质x＞1时，y随x增大而增大；0＜x＜1时，y随x增大而减小；
（4）请你利用配方法证明：当x＞0时，y=x+$\frac{1}{x}$的最小值为2．（提示：当x＞0时x=（$\sqrt{x}$）²，$\frac{1}{x}$=（$\frac{1}{\sqrt{x}}$）²）

Answer 1

分析 （1）由分母不能为零，即可得出自变量x的取值范围；
（2）描点、连线，画出函数图象即可；
（3）观察函数图象，找出该函数的另一条性质即可；
（4）由x=（$\sqrt{x}$）²、$\frac{1}{x}$=（$\frac{1}{\sqrt{x}}$）²、$\sqrt{x}$•$\frac{1}{\sqrt{x}}$=1，利用配方法即可得出x+$\frac{1}{x}$=（$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）²+2≥2，由此即可得出：当x＞0时，y=x+$\frac{1}{x}$的最小值为2．

解答 解：（1）∵x在分母上，
∴自变量x的取值范围是x≠0．
故答案为：x≠0．
（2）画出函数图象，如图所示．
（3）x＞1时，y随x增大而增大；0＜x＜1时，y随x增大而减小．
故答案为：x＞1时，y随x增大而增大；0＜x＜1时，y随x增大而减小．
（4）∵当x＞0时，x=（$\sqrt{x}$）²，$\frac{1}{x}$=（$\frac{1}{\sqrt{x}}$）²，且$\sqrt{x}$•$\frac{1}{\sqrt{x}}$=1，
∴x+$\frac{1}{x}$=（$\sqrt{x}$）²+（$\frac{1}{\sqrt{x}}$）²=（$\sqrt{x}$）²-2+（$\frac{1}{\sqrt{x}}$）²+2=（$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）²+2，
∵（$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）²≥0，
∴（$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）²+2≥2，
∴x+$\frac{1}{x}$≥2，即当x＞0时，y=x+$\frac{1}{x}$的最小值为2．

点评 本题考查了反比例函数的性质、配方法的应用以及反比例函数的图象，解题的关键是：（1）由分母不能为零，找出自变量x的取值范围；（2）描点．连线，画出函数图象；（3）观察函数图象，找出函数的性质；（4）利用配方法找出x+$\frac{1}{x}$=（$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）²+2≥2．