Question

19．如图，在平面直角坐标系中xOy中，已知点A（0，1），以OA为边在右侧作等边三角形OAA₁，再过点A₁作x轴的垂线，垂足为点O₁，以O₁A₁为边在右侧作等边三角形O₁A₁A₂；…按此规律继续作下去，得到等边三角形O₂₀₁₆A₂₀₁₆A₂₀₁₇，则点A₂₀₁₇的纵坐标为（　　）

• A． （$\frac{1}{2}$）²⁰¹⁷
• B． （$\frac{1}{2}$）²⁰¹⁶
• C． （$\frac{1}{2}$）²⁰¹⁵
• D． （$\frac{1}{2}$）²⁰¹⁴

Answer 1

分析 根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出O₁A₁=$\frac{1}{2}$OA₁=$\frac{1}{2}$，O₂A₂=$\frac{1}{2}$O₁A₂=（$\frac{1}{2}$）²，O₃A₃=$\frac{1}{2}$O₂A₃=（$\frac{1}{2}$）³，即点A₁的纵坐标为$\frac{1}{2}$；点A₂的纵坐标为（$\frac{1}{2}$）²，点A₃的纵坐标为（$\frac{1}{2}$）³，以此类推，从中得出规律，即可求出答案．

解答 解：∵三角形OAA₁是等边三角形，
∴OA₁=OA=1，∠AOA₁=60°，
∴∠O₁OA₁=30°．
在直角△O₁OA₁中，∵∠OO₁A₁=90°，∠O₁OA₁=30°，
∴O₁A₁=$\frac{1}{2}$OA₁=$\frac{1}{2}$，即点A₁的纵坐标为$\frac{1}{2}$；
同理，O₂A₂=$\frac{1}{2}$O₁A₂=（$\frac{1}{2}$）²，O₃A₃=$\frac{1}{2}$O₂A₃=（$\frac{1}{2}$）³，
即点A₂的纵坐标为（$\frac{1}{2}$）²，
点A₃的纵坐标为（$\frac{1}{2}$）³，
…
∴点A₂₀₁₇的纵坐标为（$\frac{1}{2}$）²⁰¹⁷．
故选A．

点评 此题考查了规律型：点的坐标，等边三角形的性质，解答此题的关键是通过认真分析，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，从中发现规律．