题目内容
17．
如图，已知矩形ABCD中，AB=2，AD=2$\sqrt{3}$，动点P从点A出发向终点D运动，连BP，并过点C作CH⊥BP，垂足为H．①点H不可能在矩形ABCD之外；②AH的最小值为$\sqrt{7}$-$\sqrt{3}$；③在运动过程中，BP扫过的面积始终等于CH扫过的面积；④在运动过程中，点H的运动路线（轨迹）长为$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$π，正确的有（填序号）①②④．
分析 根据点H的运动路线（轨迹）为以O为圆心的$\widehat{BQ}$，即可得出点H不可能在矩形ABCD之外；根据当A，H，O在同一直线上时，AH最短，即可得出AH的最小值；根据BP扫过的面积=△ABD的面积，CH扫过的面积=等边△COQ的面积+扇形BOQ的面积，即可得出BP扫过的面积不等于CH扫过的面积；根据点H的运动路线（轨迹）为$\widehat{BQ}$，运用弧长计算公式即可得出结果．
解答 
解：如图所示，∵CH⊥BP于H，
∴∠BHC=90°，
∴点H的运动路线（轨迹）为以O为圆心的$\widehat{BQ}$，
∵OH=OB=$\sqrt{3}$，AB=2，
∴OH＜AB，
∴点H不可能在矩形ABCD之外，故①正确；
连接AH，AO，HO，则AH+HO≥AO，
∴当A，H，O在同一直线上时，AH最短，
此时AH=AO-HO=$\sqrt{{2}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$-$\sqrt{3}$，
即AH的最小值为$\sqrt{7}$-$\sqrt{3}$，故②正确；
③如图所示，在运动过程中，BP扫过的面积=△ABD的面积=$\frac{1}{2}$AB×AD=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
CH扫过的面积=等边△COQ的面积+扇形BOQ的面积=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（$\sqrt{3}$）2+$\frac{120×π×（\sqrt{3}）^{2}}{360}$=$\frac{3}{4}\sqrt{3}$+π，
∴BP扫过的面积不等于CH扫过的面积，故③错误；
④在运动过程中，点H的运动路线（轨迹）长为$\widehat{BQ}$=$\frac{120×π×\sqrt{3}}{180}$=$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$π，故④正确；
故答案为：①②④．
点评 本题主要考查了轨迹以及矩形的性质的运用，解题时注意：直径所对的圆周角为直角；解决问题的关键是掌握弧长的计算公式以及扇形的面积计算公式的运用．
| A． | 3x+2y=5（x+y） | B． | x+x3=x4 | C． | x2•x3=x6 | D． | （x2）3=x6 |
某班“数学兴趣小组”对函数y=x+$\frac{1}{x}$的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：（1）自变量x的取值范围是x≠0；
（2）如表是y与x的几组对应数值：
| x | … | -3 | -2 | -1 | -$\frac{1}{2}$ | -$\frac{1}{3}$ | $\frac{1}{3}$ | $\frac{1}{2}$ | 1 | 2 | 3 | … |
| y | … | -$\frac{10}{3}$ | -$\frac{5}{2}$ | -2 | -$\frac{5}{2}$ | -$\frac{10}{3}$ | $\frac{10}{3}$ | $\frac{5}{2}$ | 2 | $\frac{5}{2}$ | $\frac{10}{3}$ | … |
（3）进一步探究发现：该函数在第一象限内的最低点的坐标是（1，2），观察函数图象，写出该函数的另一条性质x＞1时，y随x增大而增大；0＜x＜1时，y随x增大而减小；
（4）请你利用配方法证明：当x＞0时，y=x+$\frac{1}{x}$的最小值为2．（提示：当x＞0时x=（$\sqrt{x}$）2，$\frac{1}{x}$=（$\frac{1}{\sqrt{x}}$）2）
如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线距离之和PE+PF是（ ）