Question

13．如图，四边形ABCD是菱形，对角线BD上有一点O，以O为圆心，OD长为半径的圆记为⊙O．
（1）当⊙O经过点A时，用尺规作图作出⊙O；此时，点C在⊙O上吗？为什么？
（2）当⊙O与AB相切于点A时，
①求证：BC与⊙O相切；
②若OB=1，⊙O的面积=$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 （1）如图1，作AD的垂直平分线MN交BD于O，以O为圆心，OD为半径作⊙O，则⊙O即为所求，由菱形的性质得到边角的关系，通过三角形全等得到结论．
（2）①由三角形全等得到对应角相等，证得垂直得到BC与⊙O相切；
②解直角三角形得到半径的长度，由圆的面积公式求得．

解答 解：如图1（1）作AD的垂直平分线MN 交BD于O，以O为圆心，OD为半径作⊙O，
则⊙O即为所求；
点C 在圆上，
理由如下；
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=DA，∠CDB=∠ADB，
在△CDO与△ADO中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=AD}\\{∠CDO=ADO}\\{OD=OD}\end{array}\right.$，
∴△CDO≌△ADO，
∴OC=OA，
∴点C在⊙O上；

（2）①当⊙O与AB相切于点A时，
∠OAB=90°，
在△ABO与△BCO中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABO=∠BCO}\\{OB=OB}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△BCO，
∴∠BCO=∠BAO=90°，
∴BC⊥OC，
∴BC与⊙O相切；
②∵∠CDA=∠ABC=$\frac{1}{2}$∠AOC，
∴∠ABC=60°，
∴∠CBO=30°，
∵OB=1，
∴OC=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{1}{2}$，
∴⊙O的面积=${（\frac{1}{2}）}^{2}$•π=$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，直线与圆的位置关系，圆面积的求法，正确的作出图形是解题的关键．