Question

7．某商场销售一种产品，每件产品的成本为2400元，销售单价定位3000元，该商场为了促销，规定客户一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元；
（1）设一次购买这种产品x（x≥10）件，商场所获的利润为y元，求y（元）与x（件）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）在客户购买产品的件数尽可能少的前提下，商场所获的利润为12000元，此时该商场销售了多少件产品？
（3）填空：该商场的销售人员发现，当客户一次购买产品的件数在某一个区间时，会出现随着一次购买的数量的增多，商场所获的利润反而减少这一情况，客户一次购买产品的数量x满足的条件是35＜x≤50（其它销售条件不变）

Answer 1

分析 （1）由利润y=（销售单价-成本单价）×件数，及销售单价均不低于2600元，按10＜x≤50，x＞50两种情况列出函数关系式；
（2）根据（2）中函数关系式列出方程，解之可得x的值，根据题意取舍后可得答案；
（3）将10≤x≤50时的函数解析式配方成顶点式，根据二次函数性质可得．

解答 解：（1）当一次购买这种产品x（x≥10）件时，销售单价为3000-10（x-10），
由题意可知，3000-10（x-10）≥2600，
解得：x≤50，
∴当10≤x≤50时，y=[3000-10（x-10）-2400]x，即y=-10x²+700x；
当x＞50时，y=（2600-2400）x=200x；

（2）当0≤x＜10时，由600x=12000可得x=20＞10，舍去；
当10≤x≤50时，-10x²+700x=12000，
解得：x=30或x=40，
当x＞50时，200x=12000，
解得：x=60，
∵客户购买产品的件数应尽可能少，
∴x=30，
答：商场销售了30件产品时，商场所获的利润为12000元；

（3）∵当10≤x≤50时，y=-10x²+700x=-10（x-35）²+12250，
∴当35＜x≤50时，y随x的增大而减小，
即客户一次购买产品的数量x满足的35＜x≤50时，会出现随着一次购买的数量的增多，商场所获的利润反而减少这一情况，
故答案为：35＜x≤50．

点评 本题主要考查二次函数的应用和一元二次方程的应用能力，理解题意得出相等关系，并据此列出函数解析式及方程是解题的关键．