Question

16．一个自然数a恰等于另一个自然数b的平方，则称自然数a为完全平方数（如64=8²，64是一个完全平方数）若a=1995²+1995²•1996²+1996²．求证：a是一个完全平方数．

Answer 1

分析 直接设x=1995，则1996=x+1，结合完全平方公式进而配方得出答案．

解答 证明：设x=1995，则1996=x+1，
所以a=1995²+1995²•1996²+1996²
=x²+x²（x+1）²+（x+1）²
=（x+1）²-2x（x+1）+x²+2x（x+1）+x²（x+1）²
=（x+1-x）²+2x（x+1）+[x（x+1）]²
=1+2x（x+1）+[x（x+1）]²
=[1+x（x+1）]²
=（1+1995×1996）²
=3982021²．
故a是一完全平方数，a的值为3982021²．

点评 此题主要考查了完全平方数，正确应用配方法是解题关键．